Мотоциклист прошел первую половину пути со скоростью v1 , а вторую половину со скоростьюv2. Получите формулу для средней скорости. Докажите, что средняя скорость не превосходит среднегоарифметического значений v1 и v2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть расстояние между начальной и конечной точкой равно D, тогда первая половина пути длиной D/2 пройдена со скоростью v1, а вторая половина пути также длиной D/2 - со скоростью v2.

Средняя скорость можно определить как отношение общего пройденного расстояния к общему времени движения:
Vср = (D + D) / (D/v1 + D/v2) = 2D / (D/v1 + D/v2) = 2 / (1/v1 + 1/v2) = 2 / ((v1 + v2) / (v1 v2)) = 2v1 v2 / (v1 + v2).

Теперь докажем, что средняя скорость не превосходит среднего арифметического значений v1 и v2, т.е. Vср <= (v1 + v2)/2.

Для этого докажем неравенство:
2v1 v2 <= v1^2 + v1 v2 + v2^2,
2v1 v2 <= v1^2 + v2^2 + 2v1 v2,
0 <= v1^2 + v2^2,
0 <= (v1 - v2)^2.

Таким образом, неравенство Vср <= (v1 + v2)/2 доказано, и средняя скорость мотоциклиста не превышает среднего арифметического значений скоростей v1 и v2.