Уравнение гармонических колебаний имеет вид: [tex]x(t)=8sin(8\pi t+\frac{\pi}{5})e^{-0,22t}[/tex]
Найдите логарифмический декремент колебаний.
Допустимая погрешность расчёта 1%

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения логарифмического декремента колебаний (Λ) необходимо найти два последовательных максимума или минимума амплитуды колебаний и использовать следующую формулу:

[tex]\Lambda = \frac{1}{n} ln(\frac{An}{A{n+m}})[/tex]

где An и A{n+m} - амплитуды колебаний в моменты времени n и n+m соответственно.

У нас дано уравнение колебаний:
[tex]x(t)=8sin(8\pi t+\frac{\pi}{5})e^{-0,22t}[/tex]

Из этого выражения можно определить амплитуду колебаний при различных моментах времени.

Поскольку мы не знаем конкретные значения времени t, при которых будут достигнуты максимумы или минимумы, а также необходима точность 1%, то лучше воспользоваться методом дифференцирования.

Дифференцируем выражение для x(t) два раза по времени, чтобы найти точки, в которых скорость колебаний равна нулю:

[tex]x'(t)=8\pi cos(8\pi t+\frac{\pi}{5})e^{-0,22t} - 0,22*8sin(8\pi t+\frac{\pi}{5})e^{-0,22t}[/tex]

[tex]x''(t)=-64\pi^2 sin(8\pi t+\frac{\pi}{5})e^{-0,22t} - 0,704sin(8\pi t+\frac{\pi}{5})e^{-0,22t} - 17,6cos(8\pi t+\frac{\pi}{5})e^{-0,22t}[/tex]

Решим уравнение x'(t) = 0 и найдем t_1 и t_2 - моменты времени для двух последовательных максимумов или минимумов.

Далее найдем амплитуды An и A{n+m} в этих точках и подставим их в формулу для вычисления логарифмического декремента:

[tex]\Lambda = \frac{1}{t_2 - t1} * ln(\frac{A{n+m}}{A_n})[/tex]

Подставим найденные значения и измеряем точность результата с учётом допустимой погрешности 1%.