Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O и O' — центры окружностей радиусов 36 и 45 соответственно, M и N — точки касания общих касательных с соответствующими окружностями, P и Q — точки касания прямых AB и CD с окружностями. Тогда OM ⊥ AP, так как OM — радиус 36-й окружности, а AP — касательная к ней. Аналогично, ON ⊥ DQ.

Так как AC и BD — общие касательные, то углы OAM и O'DN равны (по касательной к окружности считать удобнее). Аналогично равенство углов OBM и O'CN. Отсюда следует, что треугольники OAM и O'CN равновелики.

Рассмотрим прямоугольные треугольники OMP и ONQ. У них равны гипотенузы, равные радиусы окружностей, равные острые углы при прямоугольных в силу равновеликости треугольников OAM и O'CN.

Отсюда получаем, что треугольники OMP и ONQ равнобедренные, и MP = NQ. Таким образом, расстояние между прямыми AB и CD равно расстоянию между точками M и N, то есть 36 + 45 = 81.

Итак, расстояние между прямыми AB и CD равно 81.