На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки D и E соответственно. X — точка пересечения отрезков BE и CD. В точке B находится масса 8. Какие массы надо поместить в точки A и C, чтобы центр масс попал в точку X, если AD:DB=1:2, AE:EC=2:1?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть масса в точке A равна 2x, а масса в точке C равна x. Тогда масса в точке D будет равна 2*2x = 4x, а масса в точке E будет равна x/2 = 0.5x.

Теперь составим уравнение для нахождения суммы моментов относительно точки X:

8AB = 4x (3х - АX) + 2x (3х - ВХ) + 0.5x (3x - СX)

Разделим обе части уравнения на 3:

8/3 AB = 4x х - 4x АХ + 2x х - 2x ВХ + 0.5x х - 0.5x * СХ

Заметим, что х = АХ + ВХ + СХ, и АХ + ВХ + СХ = 3х, слудовательно, 2х = АХ + ВХ = 8/3*AB (1).

Подставим AD:DB=1:2 в уравнение (1) (по аналогии получим AE:EC=2:1):

2х - (2х/3) = 8/3AB => 4x/3 = 8/3 AB, следовательно, x = 2*AB.

Таким образом, масса в точке A равна 2x = 4AB, а масса в точке С равна x = 2AB.