На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки D и E соответственно. X — точка пересечения отрезков BE и CD. В точке A находится масса 6. Какие массы надо поместить в точки B и C, чтобы центр масс треугольника попал в точку X, если AD:DB=1:1, AE:EC=3:1?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала посчитаем координаты точек B и C. Пусть точка A имеет координаты (0,0), тогда точки D и E будут иметь координаты (-3,0) и (1,0) соответственно, так как отношение AD:DB=1:1 и AE:EC=3:1.

Теперь найдем координаты точки X. Используем формулу нахождения координат точки пересечения отрезков: X = ( (x1y2 - y1x2) / (y2 - y1), (x2y1 - x1y2) / (y2 - y1) ), где точки D и B имеют координаты (-3,0) и (x, y) соответственно, а точки E и C имеют координаты (1,0) и (x, y) соответственно.

Подставим известные значения и найдем координаты точки X:
X = ( (10 - 0(-3) / (0 - 0), (-30 - 10) / (0 - 0) ) = (3/2,0).

Теперь найдем координаты центра масс треугольника ABC. По определению центра масс для двух точек с известными массами и координатами: X = ( (x1m1 + x2m2) / (m1 + m2), (y1m1 + y2m2) / (m1 + m2) ), где точки A, B и C имеют массы 6, m и m соответственно, а их координаты равны (0,0), (x, y) и (x, y) соответственно.

Подставим известные значения и найдем координаты центра масс:
X = ( (06 + xm) / (6 + m), (06 + ym) / (6 + m) ).

Учитывая, что координаты центра масс равны (3/2,0), мы можем записать соотношение:
3/2 = x*m / (6 + m).

Теперь рассмотрим отношение AE:EC=3:1 и запишем еще одно уравнение:
3/1 = 1*m.

Теперь решим получившуюся систему уравнений и найдем значения m, x и y:
m = 1
x = 3
y = 0.

Таким образом, массы в точках B и C должны быть равны 1.