Докажите, что угол между касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен полуразности дуг между ними.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть даны две касательные к окружности, проведенные из одной точки. Обозначим эти касательные как AB и CD, а точку касания с окружностью как E.

Так как AB и CD являются касательными к окружности, то угол между касательными и радиусом, проведенным к точке касания, будет прямым углом. Значит, треугольники AEB и CED являются прямоугольными.

Пусть угол между касательными равен α, а дуга между ними равна β.

Тогда по свойству радиус-касательная:
∠AEB = ∠CED = 90°.

Также из свойства прямого угла в прямоугольных треугольниках:
α + ∠AEB + β = 180°,
α + 90° + β = 180°,
α + β = 90°.

Получили, что угол между касательными равен полуразности дуг между ними.