В основании пирамиды лежит прямоугольник, одина из сторон которого равна 6 см, а радиус окружности, описанной около него, равен 5 см. Все боковые ребра пирамиды равны 13 см. Вычислить объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через ( h ) высоту пирамиды, ( l ) диагональ основания прямоугольника, а через ( a ) и ( b ) его стороны.

Так как радиус описанной около прямоугольника окружности равен 5 см, то ( l = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} ) и равен 6 (\sqrt{2} ) см.

Объем пирамиды можно найти по формуле: ( V = \frac{1}{3} \cdot S{\text{осн}} \cdot h ), где ( S{\text{осн}} ) - площадь основания пирамиды, а ( h ) - высота пирамиды.

Так как основание пирамиды - это прямоугольник, то ( S_{\text{осн}} = a \cdot b = 6 \cdot 6 = 36 ) см².

Для нахождения высоты пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного радиусом и высотой пирамиды: ( (6\sqrt{2})^2 = h^2 + 5^2 ), откуда ( h = \sqrt{72} ).

Теперь мы можем найти объем пирамиды:
[ V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{72} = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6\sqrt{2} = 72\sqrt{2} \, см^3. ]

Ответ: объем пирамиды равен 72(\sqrt{2}) см³.