Одна из высот треугольника разбивает его на треугольники с периметрами 25 см и 29 см.найти эту высоту ,если периметр треугольника 40 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота треугольника разбивает его на два треугольника с периметрами 25 см и 29 см на основу. Обозначим длину этой высоты через h.

Тогда первый треугольник имеет периметр 25 см. Если обозначить стороны этого треугольника через a, b и c, то сумма сторон равна периметру: a + b + c = 25 см.

Аналогично, второй треугольник имеет периметр 29 см, т.е. стороны обозначаются как a, b и d: a + b + d = 29 см.

Так как высота разбивает треугольник на два, то сумма периметров этих двух треугольников должна быть равна периметру исходного треугольника, т.е. 25 + 29 = 54 см.

Тогда a + b + c + a + b + d = 54 см, c + d = 54 см - 2(a + b).

Но также известно, что периметр исходного треугольника равен 40 см: a + b + c + d = 40 см.

Исключаем c и d из образовавшейся системы уравнений: a + b + c = 25 см, a + b + d = 29 см и найдем a и b.

Сложим данные уравнения: 2(a + b) + 4 = 54 см, a + b = 25 см.

Мы нашли основание и как оказалось: с = 25 см.

Из этого можно найти высоту h, которая равна (\frac{2 \cdot S}{c}), где (S) - площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти из формулы (S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h), где (c = 25) см. Подставляем значение (c) и получаем:

(S = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h).

Также известно, что площадь треугольника можно найти через его полупериметр (p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{40}{2} = 20) и формулу (S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}).

Подставим значения площади в уравнение (S = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h):

(\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h = \sqrt{20 \cdot (20 - a) \cdot (20 - b) \cdot (20 - 25)}),

(12,5 \cdot h = \sqrt{20 \cdot (20 - a) \cdot (20 - b) \cdot 5}),

(12,5 \cdot h = \sqrt{5000 - 100a - 100b + a \cdot b}),

Отсюда можно найти (h).