На сторонах AB и AD квадрата ABCD со стороной 24 отмечены точки E и F соответственно. Угол ECF равен 30∘. Из вершин B и D проведены перпендикуляры к отрезкам CE и CF. Какая наибольшая площадь может быть у четырехугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точки пересечения перпендикуляров с отрезками CE и CF обозначены через M и N соответственно. Тогда четырехугольник BMND является трапецией.

Так как BE = BD = 24 (так как BE является стороной квадрата), то треугольник BDE равнобедренный, а значит угол EBD равен 45°. Также из условия задачи у нас есть угол FEC равный 30°, а значит угол FEN равен 60°.

Теперь заметим, что треугольник ENF равносторонний, так как NF = NE (как радиусы одной и той же окружности). Таким образом, NE = NF = NM = ND, а значит четырехугольник BMND является параллелограммом.

Так как площадь параллелограмма равна произведению диагоналей, то S(BMND) = BM ND sin(60°) = BM 24 sin(60°) = BM 24 sqrt(3) / 2.

Далее, заметим, что у треугольника BEM угол EBM равен 30°, а значит ME = BE * sin(30°) = 24 / 2 = 12. Также, по теореме Пифагора, EM = sqrt(BE^2 - BM^2) = sqrt(24^2 - BM^2).

Теперь можем составить выражение для площади четырехугольника S(BMND): S(BMND) = BM 24 sqrt(3) / 2 = BM 24 sqrt(3) / 2 = 12 sqrt(24^2 - BM^2) 24 * sqrt(3) / 2.
Очевидно, что площадь четырёхугольника S(BMND) максимальна, если BM — максимально возможное значение.

BM = sqrt(24^2 - BM^2)
α BM^2 + BM - 576 = 0.
аДискриминант данного квадратного уравнения равен Δ = 1 + 4 • 576 = 2305; из него следует, что BM = (–1 + sqrt(2305)) / 2, или BM ≈ 23,02.
Следовательно, наибольшая площадь четырёхугольника S(BMND), равна 12 • 12 • 24 • sqrt(3)/2 = 144 • 12 • sqrt(3) / 2 = 864 • sqrt(3) отрезку квадрата.