Комбинаторика. Задание о выбранных числах. Вова задумал 3 натуральных числа (не обязательно различных) и сказал их Андрею. Андрей каждое из них уменьшил на 3. Могло ли оказаться так, что произведение трёх чисел Андрея больше произведения трёх чисел Вовы ровно на 123?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, это возможно. Давайте разберемся:

Пусть числа Вовы, которые он выбрал, равны a, b и c.

Тогда произведение трех чисел Вовы равно abc.

После того, как Андрей уменьшил каждое число на 3, они стали равны (a-3), (b-3) и (c-3).

Тогда произведение трех чисел Андрея равно (a-3)(b-3)(c-3).

Известно, что произведение трех чисел Андрея больше произведения трех чисел Вовы ровно на 123. То есть:

(а-3)(b-3)(c-3) = abc + 123

(a-3)(b-3)(c-3) = abc + 123

a(bc-3b-3c+9) - 3(b-3)(c-3) = abc + 123

ab + bc + ac - 3(a+b+c) + 9 - 3ab - 9ac - 9bc + 27 = abc + 123

ab + bc + ac - 3(a+b+c) - 9 + 27 = 123

ab + bc + ac - 3(a+b+c) = 105

(a+b+c)(a+b+c) - 3(a+b+c) = 105

Теперь заметим, что a+b+c = 10, так как это сумма чисел Вовы.

Итак, (a+b+c)^2 - 3(a+b+c) = 10^2 - 3*10 = 100 - 30 = 70

Итак, сумма квадратов чисел Вовы минус 3 умноженная на сумму чисел Вовы равна 70.

Теперь попробуем найти такие числа a, b, c, для которых это верно. Например, возьмем a=5, b=3, c=2:

532 = 30 - произведение трех чисел Вовы

(5-3)(3-3)(2-3) = 20(-1) = 0 - произведение трех чисел Андрея

30 - 0 = 30 ≠ 123

Таким образом, не существует таких чисел a, b, c, для которых произведение трех чисел Андрея будет больше произведения трех чисел Вовы на 123.