Математика олимпиадная задача. Каждый сервер соединён со ста другими. При этом нет 5 серверов, попарно соединённых друг с другом. При каком наименьшем числе серверов такое возможно?

19 Янв в 19:41
43 +1
0
Ответы
1

Давайте решим эту задачу, используя теорию графов. Каждый сервер можно рассматривать как вершину графа, а соединение между серверами как рёбра. Условие задачи говорит о том, что:

Каждый сервер соединён с 100 другими серверами. Это означает, что степень (количество рёбер) каждой вершины равна 100.Нет 5 серверов, попарно соединённых друг с другом. Это означает, что в графе нет полного подграфа (клика) из 5 вершин.

Согласно теореме о ребрах графа без клики из ( K_k ) (полного графа из ( k ) вершин), для графа без клики ( K_5 ) максимальное количество рёбер ( E ) графа с ( n ) вершинами может быть оценено по формуле:

[
E \leq \frac{(k-2)n^2}{2(k-1)}
]

где ( k ) — это количество вершин в полной клике, в нашем случае ( k = 5 ).

Подставляя ( k = 5 ):

[
E \leq \frac{(5-2)n^2}{2(5-1)} = \frac{3n^2}{8}
]

Каждая вершина соединена с 100 другими, следовательно общее количество рёбер ( E ) также можно выразить как:

[
E = \frac{100n}{2} = 50n
]

Теперь мы можем установить неравенство:

[
50n \leq \frac{3n^2}{8}
]

Умножим обе стороны на 8:

[
400n \leq 3n^2
]

Переносим все на одну сторону:

[
3n^2 - 400n \geq 0
]

Факторизуем:

[
n(3n - 400) \geq 0
]

Это неравенство верно для ( n \geq \frac{400}{3} ). Поскольку ( n ) должно быть целым числом, наименьшее подходящее значение — ( n = 134 ) (так как ( \frac{400}{3} \approx 133.33 )).

Таким образом, наименьшее число серверов, для которого возможно предложенное соединение, составляет 134.

19 Янв в 19:52
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 98 913 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир