Математика олимпиадная задача. Каждый сервер соединён со ста другими. При этом нет 5 серверов, попарно соединённых друг с другом. При каком наименьшем числе серверов такое возможно?
Давайте решим эту задачу, используя теорию графов. Каждый сервер можно рассматривать как вершину графа, а соединение между серверами как рёбра. Условие задачи говорит о том, что:
Каждый сервер соединён с 100 другими серверами. Это означает, что степень (количество рёбер) каждой вершины равна 100.Нет 5 серверов, попарно соединённых друг с другом. Это означает, что в графе нет полного подграфа (клика) из 5 вершин.
Согласно теореме о ребрах графа без клики из ( K_k ) (полного графа из ( k ) вершин), для графа без клики ( K_5 ) максимальное количество рёбер ( E ) графа с ( n ) вершинами может быть оценено по формуле:
[ E \leq \frac{(k-2)n^2}{2(k-1)} ]
где ( k ) — это количество вершин в полной клике, в нашем случае ( k = 5 ).
Подставляя ( k = 5 ):
[ E \leq \frac{(5-2)n^2}{2(5-1)} = \frac{3n^2}{8} ]
Каждая вершина соединена с 100 другими, следовательно общее количество рёбер ( E ) также можно выразить как:
[ E = \frac{100n}{2} = 50n ]
Теперь мы можем установить неравенство:
[ 50n \leq \frac{3n^2}{8} ]
Умножим обе стороны на 8:
[ 400n \leq 3n^2 ]
Переносим все на одну сторону:
[ 3n^2 - 400n \geq 0 ]
Факторизуем:
[ n(3n - 400) \geq 0 ]
Это неравенство верно для ( n \geq \frac{400}{3} ). Поскольку ( n ) должно быть целым числом, наименьшее подходящее значение — ( n = 134 ) (так как ( \frac{400}{3} \approx 133.33 )).
Таким образом, наименьшее число серверов, для которого возможно предложенное соединение, составляет 134.
Давайте решим эту задачу, используя теорию графов. Каждый сервер можно рассматривать как вершину графа, а соединение между серверами как рёбра. Условие задачи говорит о том, что:
Каждый сервер соединён с 100 другими серверами. Это означает, что степень (количество рёбер) каждой вершины равна 100.Нет 5 серверов, попарно соединённых друг с другом. Это означает, что в графе нет полного подграфа (клика) из 5 вершин.Согласно теореме о ребрах графа без клики из ( K_k ) (полного графа из ( k ) вершин), для графа без клики ( K_5 ) максимальное количество рёбер ( E ) графа с ( n ) вершинами может быть оценено по формуле:
[
E \leq \frac{(k-2)n^2}{2(k-1)}
]
где ( k ) — это количество вершин в полной клике, в нашем случае ( k = 5 ).
Подставляя ( k = 5 ):
[
E \leq \frac{(5-2)n^2}{2(5-1)} = \frac{3n^2}{8}
]
Каждая вершина соединена с 100 другими, следовательно общее количество рёбер ( E ) также можно выразить как:
[
E = \frac{100n}{2} = 50n
]
Теперь мы можем установить неравенство:
[
50n \leq \frac{3n^2}{8}
]
Умножим обе стороны на 8:
[
400n \leq 3n^2
]
Переносим все на одну сторону:
[
3n^2 - 400n \geq 0
]
Факторизуем:
[
n(3n - 400) \geq 0
]
Это неравенство верно для ( n \geq \frac{400}{3} ). Поскольку ( n ) должно быть целым числом, наименьшее подходящее значение — ( n = 134 ) (так как ( \frac{400}{3} \approx 133.33 )).
Таким образом, наименьшее число серверов, для которого возможно предложенное соединение, составляет 134.