Для решения задачи о вероятности суммы чисел на 10 костях (кубах) больше 46, воспользуемся свойствами биномиального распределения и нормальным приближением.
На каждом кубике (который является шестигранным) могут выпасть числа от 1 до 6. Поэтому, сумма чисел на 10 кубах может варьироваться от (10) до (60).
Используем нормальное приближение: Сумма (S) (сумма на 10 кубах) будет приблизительно нормально распределена со средним (35) и стандартным отклонением ( \sigma = \sqrt{Var(S)} \approx \sqrt{11.08} \approx 3.32 ).
Нормируем случайную величину: Нам нужна вероятность (P(S > 46)). Нормируем: [ Z = \frac{S - 35}{3.32} \quad \text{для } S = 46. ] Тогда: [ Z = \frac{46 - 35}{3.32} \approx \frac{11}{3.32} \approx 3.31. ]
Ищем вероятность: Теперь находим (P(Z > 3.31)). Учитывая, что стандартное нормальное распределение показывает, что вероятность (P(Z > 3.31)) очень мала: [ P(Z > 3.31) \approx 0.0005. ] Это означает, что вероятность того, что сумма чисел на кубах будет больше 46, примерно равна 0.05%.
Таким образом, вероятность того, что сумма чисел на 10 кубиках будет больше 46, составляет примерно (0.0005) или 0.05%.
Для решения задачи о вероятности суммы чисел на 10 костях (кубах) больше 46, воспользуемся свойствами биномиального распределения и нормальным приближением.
На каждом кубике (который является шестигранным) могут выпасть числа от 1 до 6. Поэтому, сумма чисел на 10 кубах может варьироваться от (10) до (60).
Найдём математическое ожидание (среднее):
Для одного куба математическое ожидание равно:
[
E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5.
]
Сумма для 10 кубиков:
[
E(S) = 10 \times E(X) = 10 \times 3.5 = 35.
]
Найдём дисперсию:
Дисперсия для одного куба равна:
[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2,
]
где
[
E(X^2) = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{6} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17.
]
Таким образом:
[
Var(X) = \frac{91}{6} - \left(3.5\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{12} = \frac{182}{12} - \frac{49}{12} = \frac{133}{12} \approx 11.08.
]
Сумма для 10 кубиков:
[
Var(S) = 10 \times Var(X) = 10 \times \frac{35}{12} \approx 11.08 \times 10 = 11.08.
]
Используем нормальное приближение:
Сумма (S) (сумма на 10 кубах) будет приблизительно нормально распределена со средним (35) и стандартным отклонением ( \sigma = \sqrt{Var(S)} \approx \sqrt{11.08} \approx 3.32 ).
Нормируем случайную величину:
Нам нужна вероятность (P(S > 46)). Нормируем:
[
Z = \frac{S - 35}{3.32} \quad \text{для } S = 46.
]
Тогда:
[
Z = \frac{46 - 35}{3.32} \approx \frac{11}{3.32} \approx 3.31.
]
Ищем вероятность:
Теперь находим (P(Z > 3.31)). Учитывая, что стандартное нормальное распределение показывает, что вероятность (P(Z > 3.31)) очень мала:
[
P(Z > 3.31) \approx 0.0005.
]
Это означает, что вероятность того, что сумма чисел на кубах будет больше 46, примерно равна 0.05%.
Таким образом, вероятность того, что сумма чисел на 10 кубиках будет больше 46, составляет примерно (0.0005) или 0.05%.