Расстояние от точки до плоскости В четырёхугольной пирамиде PABCD найдите расстояние от точки: а) A до плоскости PBC б) от точки B до плоскости APD, если в основании лежит прямоугольник ABCD, в котором AB=18; BC=24 а все боковые рёбра равны 17.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти расстояние от точки до плоскости в четырехугольной пирамиде, воспользуемся формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости, заданной тремя точками.

а) Расстояние от точки A до плоскости PBC

Определим координаты точек пирамиды.

Положим A = (0, 0, 0).Пусть B = (18, 0, 0).Пусть C = (18, 24, 0).Пусть D = (0, 24, 0).

Теперь найдем координаты верхней точки P. Так как все боковые рёбра равны 17, то высота пирамиды будет рассчитываться по формуле для расстояния от точки до плоскости, используя горизонтальные координаты:

Рассмотрим отрезок AP, который равен 17. Положим, что P = (x_p, y_p, z_p) и найдем z_p.

Условия:
[
AP = 17 \Rightarrow \sqrt{x_p^2 + y_p^2 + z_p^2} = 17
]

Возьмем центр основания ABCD:
[
M = \left( \frac{0 + 18}{2}, \frac{0 + 24}{2} \right) = (9, 12)
]

Расстояние от P до точки M равно гипотенузе треугольника CMP (где C - одна из вершин основания), равной нарисованной высоте.

Если мы считаем, что P находится над центром основания (что упрощает расчет), тогда x_p = 9, y_p = 12, и z_p будет вычисляться:

[
\sqrt{(9 - 0)^2 + (12 - 0)^2 + z_p^2} = 17
]

Тогда:
[
81 + 144 + z_p^2 = 289 \Rightarrow z_p^2 = 64 \Rightarrow z_p = 8
]

Таким образом, P = (9, 12, 8).

Найдём уравнение плоскости PBC. Плоскость PBC определяется точками P(9, 12, 8), B(18, 0, 0) и C(18, 24, 0).

Начнем с векторов:

[
\overrightarrow{PB} = (18 - 9, 0 - 12, 0 - 8) = (9, -12, -8)
]
[
\overrightarrow{PC} = (18 - 9, 24 - 12, 0 - 8) = (9, 12, -8)
]

Теперь находим нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение ( \overrightarrow{PB} \times \overrightarrow{PC} ):

[
\text{n} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
9 & -12 & -8 \
9 & 12 & -8
\end{vmatrix} = \hat{i}(-96 + 96) - \hat{j}(9 \cdot -8 - 9 \cdot -8) + \hat{k}(9 \cdot 12 + 9 \cdot 12) = \hat{k}(216)
]

Нормальный вектор плоскости ( \text{n} = (0, 0, 216) ).

Теперь подставляем в уравнение плоскости:
[
0(x - 9) + 0(y - 12) + 216(z - 8) = 0 \Rightarrow z = 8.
]

Теперь найдём расстояние от точки A до плоскости PBC. Плоскость: z = 8. Координаты точки A(0,0,0).

Используем формулу:
[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
]

Учитываем, что A = 0, B = 0, C = 1, D = -8 (из уравнения z=8).

Расстояние:
[
d = \frac{|0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 8|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{8}{1} = 8.
]

б) Расстояние от точки B до плоскости APD

Аналогично, можем вычислить расстояние от точки B(18,0,0) до плоскости APD, используя те же методы.

Находим уравнение плоскости APD. Для этого используем точки A(0,0,0), P(9,12,8), D(0,24,0).

Определим два вектора:
[
\overrightarrow{AP} = (9, 12, 8)
]
[
\overrightarrow{AD} = (0, 24, 0)
]

Теперь находим нормальный вектор:
[
\text{n} = \overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
9 & 12 & 8 \
0 & 24 & 0
\end{vmatrix}
= \hat{i}(0 \cdot 8 - 24 \cdot 0) - \hat{j}(9 \cdot 0 - 0 \cdot 8) + \hat{k}(9 \cdot 24 - 12 \cdot 0)
]

Таким образом, нормальный вектор:
[
\text{n} = (192, 0, -216).
]

Подставляем в уравнение плоскости (переписываю норму):
[
192(x - 0) + 0(y - 0) - 216(z - 0) = 0 \Rightarrow 192x - 216z = 0 \Rightarrow 216z = 192x \Rightarrow z = \frac{192}{216}x = \frac{8}{9}x
]

Теперь найдем расстояние от точки B(18, 0, 0): Записываем:
[
d = \frac{|192 \cdot 18 + 0 \cdot 0 - 216 \cdot 0|}{\sqrt{192^2 + 0^2 + (-216)^2}}.
]

Проделаем исчисления:
[
= \frac{3456}{\sqrt{36864 + 46656}} = \frac{3456}{\sqrt{83520}} = \frac{3456}{288.54}.
]

После выполнения расчетов находим, что расстояние от B до плоскости APD примерно равно 12.

Таким образом, окончательные расстояния таковы:

а) Расстояние от точки A до плоскости PBC = 8.б) Расстояние от точки B до плоскости APD ≈ 12.