Каким свойством обладает данная матрица? Дана матрица бинарного отношения ‖?2‖ =
(
1 0 1
0 1 1
1 1 0
)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы понять, каким свойством обладает данная матрица бинарного отношения, необходимо проанализировать её в контексте свойств, которые могут иметь бинарные отношение, такие как рефлексивность, симметричность и транзитивность.

Дана матрица бинарного отношения ( \mathbf{A} ) размера ( 3 \times 3 ):

[
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 1 \
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
]

Теперь анализируем каждый из свойств:

Рефлексивность: Отношение рефлексивно, если для каждого элемента ( x ) выполняется ( xRx ). В данной матрице это означает, что на главной диагонали должны стоять единицы. Проверяем:

( (1, 1) ) — 1 (рефлексивно)( (2, 2) ) — 1 (рефлексивно)( (3, 3) ) — 0 (не рефлексивно)

Следовательно, отношение не рефлексивно.

Симметричность: Отношение симметрично, если для любого ( (x, y) ): если ( xRy ), то ( yRx ). Проверяем:

( (1, 3) ) — 1 и ( (3, 1) ) — 1 (симметрично)( (2, 3) ) — 1 и ( (3, 2) ) — 1 (симметрично)( (3, 1) ) — 1 и ( (1, 3) ) — 1 (симметрично)( (1, 2) ) — 0 и ( (2, 1) ) — 0 (симметрично)( (1, 1) ) и ( (2, 2) ) и ( (3, 3) ) тоже соответствуют (поскольку рефлексивные пары также учтены).

Так как все соответствующие пары выполняются, отношение симметрично.

Транзитивность: Отношение транзитивно, если для ( (x, y) ) и ( (y, z) ) выполняется, что ( (x, z) ) тоже верно. Проверим:

( (1, 3) ) и ( (3, 2) ) — тогда должно быть ( (1, 2) ) (но ( (1, 2) = 0 )) — нарушает транзитивность.Таким образом, хотя мы можем проверить и остальные пары, уже одно нарушение свидетельствует о том, что отношение не транзитивно.

В итоге, данная матрица бинарного отношения обладает только свойством симметричности.