Решите задачу по геометрии пж пж Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит ее боковую сторону на отрезки, один из которых равен 14 см. Найдите основания трапеции, если ее периметр равен 68 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи обозначим равнобокую трапецию как ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Пусть ( AD = BC = a ) (боковые стороны равны, так как трапеция равнобокая), и пусть ( AB = b_1 ) и ( CD = b_2 ) - основание.

Пусть точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит боковую сторону AD на отрезки ( x ) и ( y ) так, что ( x + y = a ), где ( x = 14 ) см (один из отрезков).

Согласно свойству, что сумма оснований равнобокой трапеции и сумма боковых сторон равны, у нас есть:

[
b_1 + b_2 = a + a = 2a
]

Теперь наклоняемся к периметру трапеции:

[
P = b_1 + b_2 + 2a = 68 \text{ см}.
]

Подставим ( b_1 + b_2 = 2a ):

[
2a + 2a = 68 \implies 4a = 68 \implies a = 17 \text{ см}.
]

Теперь мы знаем, что ( a = 17 \text{ см} ). Итак, боковые стороны равны ( 17 ) см.

Теперь рассмотрим, как на основании ( AD ) точка касания делит его на отрезки ( x + y = 17 ) см (где ( x = 14 ) см и ( y = 3 ) см).

Согласно тому свойству, что разность между основаниями равнобокой трапеции равна разности между отрезками:

[
b_1 - b_2 = x - y = 14 - 3 = 11.
]

Теперь у нас есть система уравнений:

Теперь сложим уравнения:

[
(b_1 + b_2) + (b_1 - b_2) = 34 + 11 \implies 2b_1 = 45 \implies b_1 = 22.5 \text{ см}.
]

Теперь найдем ( b_2 ):

[
b_2 = 34 - b_1 = 34 - 22.5 = 11.5 \text{ см}.
]

Таким образом, основания трапеции равны:

[
AB = 22.5 \text{ см}, \quad CD = 11.5 \text{ см}.
]

Ответ: основания трапеции ( AB = 22.5 ) см и ( CD = 11.5 ) см.