Найдите первообразную F(x) для функции y=f(x);a) f(x)= 3/на корень из (3-5x)^-3;b) f(x)=cos^2(2x+5)^3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Для нахождения первообразной данной функции, использовать метод подстановки. Проведем следующую замену:

u = 3 - 5x
du = -5dx
dx = du / (-5)

Теперь подставляем:

F(x) = ∫(3/u^3) dx = ∫(3/u^3) du / (-5) = -1/5 ∫(3/u^3) du
F(x) = -1/5 * (-3)u^(-3+1) + C = 3/5u^(-2) + C = 3/5(3 - 5x)^(-2) + C

Ответ: F(x) = 3/5(3 - 5x)^(-2) + C

b) Для нахождения первообразной данной функции, используем формулу интегрирования для косинуса:

F(x) = ∫cos²(2x+5)^3 dx

Для этого воспользуемся формулой тригонометрической функции cos²(α) = (1 + cos(2α)) / 2:

F(x) = ∫(1 + cos(2(2x+5))) / 2 dx = ∫(1 + cos(4x + 10)) / 2 dx

Теперь интегрируем по каждому из слагаемых:

F(x) = ∫1/2 dx + ∫(cos(4x + 10)) / 2 dx = 1/2x + 1/8sin(4x + 10) + C

Ответ: F(x) = 1/2x + 1/8sin(4x + 10) + C