Иследовать функцию y = x+8 / x-4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дана функция y = (x + 8) / (x - 4).

Чтобы исследовать данную функцию, мы можем проанализировать ее поведение при различных значениях x.

Найдем область определения функции:
Функция не определена при x = 4, так как в знаменателе присутствует деление на 0. Следовательно, область определения функции y = (x + 8) / (x - 4) - множество всех действительных чисел x, кроме x = 4.

Найдем вертикальные асимптоты:
При x, стремящемся к 4 функция будет стремиться к бесконечности, поэтому x = 4 является вертикальной асимптотой.

Найдем горизонтальные асимптоты:
Для нахождения горизонтальной асимптоты разделим коэффициенты перед x в числителе и знаменателе. Значение уравнения x / x = 1.
Следовательно, горизонтальная асимптота y = 1.

Найдем точку пересечения с осями координат:
При x = 0, получаем y = 8 / (-4) = -2.
Точка пересечения с осью x: (0, -2).
При y = 0, уравнение (x + 8) / (x - 4) = 0 не имеет действительных корней.

Определим монотонность функции:
Для нахождения точек, в которых меняется знак функции, найдем точку, в которой функция равна 0, т.е. при x = 0. Рассмотрим интервалы (-∞, 0), (0, 4), (4, ∞).
Производная функции равна: y' = (-4) / (x - 4)^2. Рассмотрим знак производной: y' < 0 на интервале (-∞, 4) и y' > 0 на интервале (4, ∞).
Следовательно, функция убывает на интервале (-∞, 4) и возрастает на интервале (4, ∞).

Итак, исследовав функцию y = (x + 8) / (x - 4), мы нашли ее область определения, вертикальную и горизонтальную асимптоты, точки пересечения с осями координат и определили ее монотонность.