Найдите общее решение дифференциального уравнения
y'' + (2/(1-y))*y'^2=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного дифференциального уравнения мы представим y' = p, чтобы уравнение стало уравнением первого порядка.

Таким образом, y'' = p'.

Подставляя y' и y'' в исходное уравнение, получаем:

p' + 2/(1-y)*p^2 = 0

Разделим обе стороны на p^2 и перенесем p^2 в левую часть:

p'/p^2 + 2/(1-y) = 0

Обозначим p' = q:

q/p^2 + 2/(1-y) = 0

q + (2p^2)/(1-y) = 0

q = -2p^2/(1-y)

Теперь мы имеем два дифференциальных уравнения:

p = dy/dx

q = dp/dx

Перепишем q в виде:

q = -2p^2/(1-y)

dp/dx = -2p^2/(1-y)

dp/(p^2) = -2 dx/(1-y)

Интегрируем обе стороны:

-1/p = -2 ln|1-y| + C

1/p = 2 ln|1-y| + C

p = 1/(2 ln|1-y| + C)

Теперь найдем y, подставив p в p = dy/dx:

dy/dx = 1/(2 ln|1-y| + C)

dy = dx/(2 ln|1-y| + C)

Интегрируем обе стороны:

∫ dy = ∫ dx/(2 ln|1-y| + C)

y = ∫ dx/(2 ln|1-y| + C) + D

где D - постоянная интегрирования.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = ∫ dx/(2 ln|1-y| + C) + D