Человек покупает еду (М) и книги (В) и тратит на эти товары в неделю 26 дол. Его функция полезности: U=3М1/2+В. Цены заданы как РМ=6, РВ=4. Найти оптимальное для него количество товаров используя метод Лагранжа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения оптимального количества товаров, воспользуемся методом Лагранжа.

Наша целевая функция: U=3М^(1/2)+В

И ограничение: 6М+4В=26

Составим функцию Лагранжа:

L=3М^(1/2)+В+λ(26-6М-4В)

Найдем частные производные по М, В и λ:

dL/dМ = 3/2 * М^(-1/2) - 6λ
dL/dВ = 1 - 4λ
dL/dλ = 26 - 6М - 4В

Выразим λ из первой и второй производных:

6λ = 3/(2*М^(1/2)) => λ = 1/(4М^(1/2))
4λ = 1 => λ = 1/4

Приравниваем два выражения для λ:

1/(4М^(1/2)) = 1/4
М^(1/2) = 4
М = 16

Подставляем М обратно в ограничение:

6*16 + 4V = 26
V = (26 - 96)/4
V = -70/4
V = -17.5

Так как количество товаров не может быть отрицательным, то данное решение не имеет смысла.

Следовательно, человек не может достигнуть оптимума с заданными ценами товаров и бюджетом 26 долларов.