Олимпиада по математике 8класс В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты BP
и CQ
. Известно, что ∠CBP=2∠ABP
и ∠ACQ=∠BCQ+2∘
. Сколько градусов составляет угол BAC
?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся свойством треугольника: сумма углов при основании равна 180 градусов.

Обозначим угол ABP = x, тогда ∠CBP = 2x. Также обозначим ∠BCQ = y, тогда ∠ACQ = y + 2°.

Так как BP и CQ - высоты, то ∠CBP и ∠ACQ - прямые углы.

Теперь составим уравнение:
∠BAC = ∠BAP + ∠CAP
∠BAC = x + (180 - x - y - 2)
∠BAC = 178 - x - y

Так как ∠CBP = 2x и ∠BCQ = y, то ∠ABP = 90 - x и ∠ABC = 90 + x + y.

Так как треугольник ABC - остроугольный, то ∠ABC < 90 + x + y.

Подставляем наши данные:
90 + x + y < 180
x + y < 90

Так как x + y < 90, то 178 - x - y > 90.

Следовательно, угол BAC > 90 градусов.