Потребитель расходует в неделю 40 р. на покупку яблок и бананов. Предельная полезность яблок равна 10 - 2x, где x - количество яблок, шт., цена одного яблока - 2 р. Предельная полезность бананов равна 20 - 2y, где y - количество бананов, шт., цена одного банана - 4 р. Какое количество яблок и бананов следует приобрести потребителю для получения максимальной общей полезности?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам необходимо найти оптимальное количество яблок (x) и бананов (y), чтобы максимизировать общую полезность потребителя.

Общая полезность (U) равна сумме предельной полезности яблок и бананов:
U = 10 - 2x + 20 - 2y

Учитывая бюджет потребителя, который составляет 40 рублей в неделю, можем составить соотношение между ценами яблок и бананов:
2x + 4y = 40

Теперь объединим общую полезность и ограничение бюджета и найдем значение x и y:
10 - 2x + 20 - 2y + λ(2x + 4y - 40)

Чтобы найти оптимальные значения x и y, продифференцируем это уравнение по x и y, приравняем к нулю и решим полученные уравнения с учетом ограничения.
∂U/∂x = -2 + 2λ = 0
∂U/∂y = -2 + 4λ = 0
2x + 4y = 40

Отсюда находим λ = 1 и λ = 1/2
Подставляем значения λ в уравнения:
-2 + 2λ = 0 => -2 + 2 = 0 => x = 1
-2 + 4λ = 0 => -2 + 2 = 0 => y = 4

Таким образом, оптимальное количество яблок для покупки - 1 шт., оптимальное количество бананов - 4 шт. Для получения максимальной общей полезности следует приобрести 1 яблоко и 4 банана.