Правильно: "doesn't" — сокращение от "does not". Правило: берёте глагол "does" и прибавляете "n't" → does + n't = doesn't (апостроф заменяет букву o в "not"). Вариант "dosen't" — орфографическая ошибка (в нём искажён порядок букв).
Примеры:
- He doesn't like coffee. (Правильно)
- I don't know. (для I/we/you/they — "don't")
Произношение примерно [ˈdʌz(ə)nt].