В треугольной пирамиде SABC площадь основания ABC равна 7, а углы ABC,ASB и двугранный угол при ребре AB равны п/2. Рассматриваются проекциипирамиды SABC на всевозможные плоскости, проходящие через прямую АВ.Наибольшая из площадей таких проекций равна 14, а наименьшая площадь рана4 корень из 3. Найти объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через h высоту пирамиды, опущенную на основание ABC.
Поскольку угол ABC равен π/2, то треугольник ABC - прямоугольный, и его площадь равна BCAB/2 = 7, откуда ABBC=14.
Также из равенства площади основания и объема пирамиды получаем объем V пирамиды:
V = 1/3 Sоснования h = 1/3 7 h = 14/3 * h.

Далее, при пересечении пирамиды произвольной плоскостью, параллельной AB, получим проекции фигуры, являющиеся подобными SABC, откуда отношение сторон основания к соответствующей высоте в проекции равно тому же отношению в исходной пирамиде: s / h = 2 / 3.
Таким обраом, обозначая за s_i - площадь основания проекции, получаем:
s_max / h = 2 / 3, откуда s_max = 2h/3,
s_min / h = √3 / 3, откуда s_min = h√3 / 3.

Известно, что s_max = 14 и s_min = 4√3, откуда h = 7 и V = 14/3 7 = 14 7 / 3 = 98 / 3.
Таким образом, объем пирамиды равен 98/3.