Груз подвешенный на нити длинной l равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Нить описывает коническую поверхность, составляя с вертикалью угол а. Найдите период Т обращения груза. Чему должна быть равна максимальная сила натяжения нити F, чтобы радиус окружности, по которой движется груз, мог достигнуть значения 2L/корень из 5?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения периода Т обращения груза рассмотрим силы, действующие на него вдоль направлений x и y. Сила тяжести mg направлена вниз и равна mg, где m - масса груза, g - ускорение свободного падения. Сила натяжения нити направлена к центру окружности и составляет угол a с вертикалью. Разложим эту силу на компоненты вдоль x и y: Fx = Fsin(a), Fy = Fcos(a).

Составим уравнение второго закона Ньютона для движения груза по направлению x: Fx = max, где a - ускорение груза. Используя теорему Пифагора, найдем значение ускорения по x
a = Fx/m = Fsin(a)/m.

По закону сохранения энергии механической системы, сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна
mgh + (mv^2)/2 = const, где h - высота груза над точкой подвеса, v - скорость груза.

Выразим скорость через параметры задачи: v = rω, где ω - угловая скорость груза, r - радиус окружности. С учетом геометрии задачи, радиус окружности равен Lsin(a), где L - длина нити
Тогда уравнение сохранения энергии примет вид
mgL(1 - cos(a)) + mL^2sin^2(a)ω^2/2 = const.

Также знаем, что угловая скорость связана с периодом обращения груза следующим образом
ω = 2π/T.

Подставив найденное значение скорости v = rω в уравнение для ускорения a = Fsin(a)/m, и используя уравнение сохранения энергии, можно сформулировать уравнение для периода обращения груза
T = 2π√((Lcos(a)/g)/(1 - cos(a))).

Теперь найдем максимальную силу натяжения нити F, при которой радиус окружности максимален и равен 2L/√5. Из геометрии задачи следует, что это будет происходить при угле a = π/4
Подставим значение a в уравнение для периода обращения груза и получим итоговый ответ
T = 2π√((2L/√5√2)/(9.8)/(1 - 1/√2)) = 2π/√(29.8)(√5 - 1) = 2π√(9.8(√5 - 1)/2) ≈ 6.3 сек.

Максимальная сила натяжения нити, при которой радиус окружности достигает значения 2L/√5, равна F = mg/cos(a) = mg/√2.