Известно, что |100a⁻-b⁻|=|100b⁻-a⁻|. Докажите, что |a⁻|=|b⁻|. Где знаком ⁻ помечен вектор

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем данное равенство:

|100a⁻ - b⁻| = |100b⁻ - a⁻|

Распишем модули векторов:

√((100a₁ - b₁)² + (100a₂ - b₂)²) = √((100b₁ - a₁)² + (100b₂ - a₂)²)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(100a₁ - b₁)² + (100a₂ - b₂)² = (100b₁ - a₁)² + (100b₂ - a₂)²

Раскроем скобки:

10000a₁² - 200a₁b₁ + b₁² + 10000a₂² - 200a₂b₂ + b₂² = 10000b₁² - 200a₁b₁ + a₁² + 10000b₂² - 200a₂b₂ + a₂²

Упростим уравнение:

10000(a₁² + a₂² - b₁² - b₂²) = a₁² + a₂² - b₁² - b₂²

Далее преобразуем уравнение:

9999(a₁² + a₂² - b₁² - b₂²) = 0

Так как a₁² + a₂² - b₁² - b₂² всегда неотрицательное число, то единственный вариант, при котором данное уравнение выполняется, это a₁² + a₂² - b₁² - b₂² = 0. То есть a₁² + a₂² = b₁² + b₂².

Это означает, что длины векторов a и b равны между собой, то есть |a⁻| = |b⁻|. Таким образом, доказано, что |a⁻| = |b⁻|.