Пушку готовят к выстрелу на краю обрыва, высота которого над уровнем моря составляет h=120 м. Её устанавливают на специальные горизонтальные рельсы, вдоль которых пушка может двигаться без отрыва и без трения. Ствол пушки поворачивают под определённым углом к горизонту и кладут в него снаряд массой m. Из покоившейся пушки производят выстрел. Снаряд вылетает c минимально возможной скоростью относительно земного наблюдателя, при которой дальность его полёта до приземления в воду составляет L=225 м. Под каким углом к горизонту при этом следует зафиксировать ствол пушки перед выстрелом? Ответ выразить в градусах, округлив до целых. Масса пушки без снаряда составляет M=11m. Во время выстрела ствол пушки не поворачивается. Направления всех движений происходят в одной вертикальной плоскости. Высоту пушки не учитывать. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся законами сохранения энергии. Пусть $\theta$ - угол наклона ствола пушки к горизонту, $v_0$ - скорость вылета снаряда относительно пушки. Тогда минимальная скорость вылета снаряда относительно земли будет равна $v = v_0 \cdot \cos \theta$, а максимальная высота подъема снаряда относительно пушки будет $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$, где $g$ - ускорение свободного падения.

Таким образом, полная энергия снаряда в момент вылета равна его кинетической энергии в момент приземления:

$Mg \cdot h + \frac{11m v_0^2}{2} + mg \cdot h = mg \cdot L$

$2Mg \cdot h + 11m v_0^2 = mg \cdot L$

$2mgh + 11m v_0^2 = m(225g)$

$2gh + 11v_0^2 = 225g$

$v_0^2 = \frac{225g - 2gh}{11}$

Используем закон сохранения энергии при вертикальном движении:

$Mg \cdot 0 + \frac{11mv_0^2}{2} + mg \cdot 0 = mg \cdot H$

$\frac{11m v_0^2}{2} = m \cdot \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$

$11v_0^2 = v_0^2 \sin^2 \theta$

$\sin^2 \theta = \frac{11}{225 - 2h/g}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{11}{225 - 2h/g}}$

$\theta = \arcsin \sqrt{\frac{11}{225 - 2h/g}}$

$\theta = \arcsin \sqrt{\frac{11}{225 - 2 \cdot 120/9.8}} \approx \arcsin \sqrt{\frac{11}{202.04}} \approx \arcsin \sqrt{0.0545} \approx \arcsin 0.2335 \approx 13^\circ$

Ответ: угол наклона ствола пушки к горизонту должен быть около 13 градусов.