По проводнику, имеющему форму полого цилиндра с внутренним радиусом R1 = 10 см и внешним радиусом R2=30 см течет ток I= 5 А. Считая плотность тока внутри цилиндра постоянной, найдите циркуляцию вектора напряженности магнитного поля вдоль окружности радиусом 20 см, проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость составляет угол 90° с вектором плотности тока, а центр лежит на оси полого цилиндра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара для вычисления магнитного поля в точке P внутри проводника:

[d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}]

где (d\vec{l}) - элементарный вектор длины провода, (r) - расстояние от элементарного провода до точки P, а ( \vec{r} ) - вектор, направленный из источника тока в точку P.

Так как плотность тока постоянна, то можем записать (I = j\cdot S), где (j) - плотность тока, а S - площадь поперечного сечения проводника.

В данной задаче нам нужно найти циркуляцию вектора напряженности магнитного поля вдоль окружности радиусом 20 см, проходящей внутри проводника и ориентированной перпендикулярно к вектору плотности тока.

Из геометрии задачи видно, что в данном случае ( d\vec{l} = dl\cdot \vec{\theta} ), где ( \vec{\theta} ) - единичный вектор, направленный по касательной к окружности. Также из геометрии следует, что ( r = R1 ), так как точка P лежит внутри проводника.

Тогда уравнение для циркуляции вектора напряженности магнитного поля вдоль данной окружности будет иметь вид:

[ \oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = \int{0}^{2\pi} H dl = \int{0}^{2\pi} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl}{R1} = \frac{\mu0 I}{2 R1} \int{0}^{2\pi} dl = \mu_0 I ]

Подставляя известные значения, получаем:

[ \oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \cdot 5 = 5 \cdot 10^{-7} Вт \cdot А^{-1} ]

Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль данной окружности радиусом 20 см равна (5 \cdot 10^{-7} Вт \cdot А^{-1}).