Очередная задачка пофизике. Закон гравитации. Определите ускорение свободного падения g', обусловленное силой притяжения Земли, на дне радиальной скважины глубиной 388418,79 м. Считать массу Земли равномерно распределённой. Выразить ответ в долях от g (напр., 1,12g, 0,83g....). Радиус Земли R=6,38*10^6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи можно воспользоваться законом всемирного тяготения Ньютона:

F = G (m1 m2) / r^2,

где F - сила тяжести, G - постоянная всемирного тяготения, m1 и m2 - массы притягивающих тел, r - расстояние между центрами масс тел.

Ускорение свободного падения на дне скважины можно найти, разделив силу тяжести на массу притягиваемого тела:

g' = F / m2.

Массу Земли можно представить в виде сферы с радиусом R и плотностью р. Масса такой сферы будет равна:

m = (4/3) π R^3 * ρ,

где ρ - плотность Земли.

Теперь найдем силу тяжести на глубине радиальной скважины:

F = G ((4/3) π R^3 ρ) (4/3) π r ρ / r^2
F = G (16/9)π^2 R^3 ρ^2 / r.

И, наконец, найдем ускорение свободного падения:

g' = F / ((4/3) π R^3 ρ).
g' = G (16/9)π^2 R^3 ρ^2 / r / ((4/3) π R^3 ρ)
g' = 4/3 G π R ρ.

Подставляем числовые значения:

G = 6.67 10^-11 Н м^2 / кг^2,
R = 6.38 10^6 м,
ρ = ... (плотность Земли),
r = 388418.79 м.

g' = 4/3 6.67 10^-11 π 6.38 10^6 ρ / 388418.79

Если мы хотим выразить результат в долях от g, то найдем g:

g = G (m1 + m2) / r^2,
m1 = масса Земли, m2 = масса тела на глубине скважины = (4/3) π R^3 ρ r,
g = (6.67 10^-11 (4/3) π (6.38 10^6)^3 ρ + (4/3) π (6.38 10^6)^3 * ρ) / (388418.79)^2,

Тогда ответом будет:
g' = 4/3 6.67 10^-11 π 6.38 10^6 ρ / 388418.79 / ((6.67 10^-11 (4/3) π (6.38 10^6)^3 ρ + (4/3) π (6.38 10^6)^3 ρ) / (388418.79)^2).

Интересно, что изменится ли значение g' в зависимости от плотности Земли ρ. Как правило, плотность Земли принимается равной 5515 кг/м^3.