К концам рычага длиной 50 см подвешены медный и серебряный сплошные шары одинакового объёма. На каком расстоянии от середины рычага надо разместить точку опоры, чтобы рычаг находился в равновесии?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы рычаг находился в равновесии, необходимо, чтобы момент силы подвеса серебряного шара относительно точки опоры равнялся моменту силы подвеса медного шара относительно этой же точки опоры.

Обозначим расстояние от точки опоры до медного шара (x) и до серебряного шара (50 - x) (так как сумма расстояний до медного и серебряного шаров должна быть равна длине рычага, которая равна 50 см).

Также обозначим массу шаров как (m), ускорение свободного падения как (g), плотности меди и серебра как (\rho{\text{Cu}}) и (\rho{\text{Ag}}), соответственно.

Тогда уравнение равновесия будет выглядеть следующим образом:

[mgx = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho{\text{Cu}}gx^2 = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho{\text{Ag}}g(50 - x)^2]

где (r) - радиус шаров.

Далее подставим известные значения и найдем значение (x):

[mgx = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho{\text{Cu}}gx^2 = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho{\text{Ag}}g(50 - x)^2]

[m = \rho{\text{Cu}} \frac{4}{3}\pi r^3 = \rho{\text{Ag}} \frac{4}{3}\pi r^3]

[gx = \frac{4}{3}r^3\rho{\text{Cu}}x = \frac{4}{3}r^3\rho{\text{Ag}}g(50 - x) ]

[\frac{x}{50 - x} = \frac{\rho{\text{Ag}}}{\rho{\text{Cu}}}]

[\frac{x}{50} - \frac{\rho{\text{Ag}}}{\rho{\text{Cu}}}x = 0]

Отсюда следует, что (x = \frac{50}{1 + \frac{\rho{\text{Ag}}}{\rho{\text{Cu}}}})

Таким образом, точку опоры нужно разместить на расстоянии ( x = \frac{50}{1 + \frac{\rho{\text{Ag}}}{\rho{\text{Cu}}}}) от середины рычага.