Для связи широко используются геостационарные спутники которые покоятся относительно Земли вращаясь вместе с ней. Наблюдателю с Земли кажется что такой спутник неподвижно висит на одной долготе. Определите минимальный радиус орбиты такого спутника если радиус Земли 6400 км. Для простоты вычислений g = 10 м/с кубических.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы спутник мог оставаться на одной долготе, ему необходимо двигаться вместе с Землей со скоростью, равной угловой скорости вращения Земли. Угловая скорость вращения Земли равна ( \omega = \frac{2\pi}{T} ), где T - период вращения Земли (24 часа).

Также для того чтобы спутник мог оставаться на этой орбите, он должен двигаться по окружности с центром в центре Земли с ускорением, равным гравитационному ускорению на данной высоте h: ( a = \frac{GM}{(h + R)^2} ), где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, R - радиус Земли.

С учётом закона всемирного тяготения ( F = ma ) можем записать баланс сил на спутнике ( \frac{Mv^2}{r} = \frac{GMm}{(h+R)^2} ).

Также учитывая, что для гравитационного ускорения на высоте h ( g = \frac{GM}{(h+R)^2} ), можем переписать уравнение: ( \frac{v^2}{r} = g ).

Таким образом, подставляем угловую скорость и гравитационное ускорение на высоте спутника в уравнение и находим минимальный радиус орбиты:
( \frac{(r+6400)\omega^2}{r} = g ).
( r = \frac{\omega^26400}{g - \omega^2} ).

Подставляем данные: ( \omega = \frac{2\pi}{243600} ), ( g = 10 \ м/с^2 ):
( r = \frac{(\frac{2\pi}{243600})^26400}{10 - (\frac{2\pi}{243600})^2} \approx 26503 \ км ).

Минимальный радиус орбиты такого спутника около 26503 км.