Тело брошено под углом 60 к горизонту со скоростью 10 м/с. Определите радиус кривизны траектории в наивысшей точке

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения радиуса кривизны траектории в наивысшей точке будем использовать уравнение движения тела под углом к горизонту:

$$y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}$$

где:

Наивысшая точка траектории достигается, когда вертикальная скорость равна нулю. Запишем это условие:

$$v_y = v_0\sin\theta - gt = 0$$
$$t = \frac{v_0\sin\theta}{g}$$

Подставим это значение времени в уравнение для (y):

$$y_{\text{max}} = x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta} \left(\frac{v0\sin\theta}{g}\right)^2$$
$$y{\text{max}} = \frac{v_0^2\sin\theta\cos\theta}{2g}$$

Наивысшая точка траектории имеет координаты ((x, y_{\text{max}})). Радиус кривизны в этой точке может быть найден по формуле:

$$R = \frac{(1 + (y')^2)^{3/2}}{y''}$$

где (y') и (y'') - первая и вторая производные функции (y(x)) соответственно.

Произведем дифференцирование (y_{\text{max}}) дважды по (x) для нахождения значения радиуса кривизны:

$$y'_{\text{max}} = -\frac{v_0^3( \sin^2\theta - \cos^2\theta)}{2g} = -\frac{v_0^3(-\cos(2\theta))}{2g} = \frac{v0^3 \cos(2\theta)}{2g}$$
$$y''{\text{max}} = \frac{v_0^3(-\sin(2\theta))}{g} = -\frac{2v_0^3\sin(2\theta)}{2g} = -\frac{v_0^3 \sin(2\theta)}{g}$$

Получаем:

$$R = \frac{(1 + \left(\frac{v_0^3 \cos(2\theta)}{2g}\right)^2)^{3/2}}{-\frac{v_0^3 \sin(2\theta)}{g}}$$

$$R = \frac{\left(1 + \frac{v_0^6 \cos^2(2\theta)}{4g^2}\right)^{3/2}}{-\frac{v_0^3\sin(2\theta)}{g}}$$

$$R = \frac{\left(\frac{4g^2 + v_0^6 \cos^2(2\theta)}{4g^2}\right)^{3/2}}{-\frac{v_0^3\sin(2\theta)}{g}}$$

$$R = \frac{(4g^2 + v_0^6 \cos^2(2\theta))^{3/2}}{-4g^3\sin(2\theta)}$$

Подставим (\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}), (v_0 = 10 \ м/с), (g = 9.81 \ м/с^2):

$$R = \frac{(4 \cdot (9.81)^2 + (10)^6 \cos^2\left(2\cdot\frac{\pi}{3}\right))^{3/2}}{-4 \cdot (9.81)^3 \cdot \sin\left(2\cdot\frac{\pi}{3}\right)}$$

$$R = \frac{(4 \cdot (9.81)^2 + (10)^6 \cos^2\left(\frac{2\pi}{3}\right))^{3/2}}{-4 \cdot (9.81)^3 \cdot \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)}$$

$$R = \frac{(4 \cdot (9.81)^2 + (10)^6 \cos^2(\frac{2\pi}{3}))^{3/2}}{-4 \cdot (9.81)^3 \cdot \sin(\frac{4\pi}{3})}$$

Теперь остается только подставить значения и рассчитать радиус кривизны траектории.