Оценить погрешность интерполяции на этом отрезке Функция sinx приближается на отрезке [0,п/4] Интерполяционным многочленом по значениям в точках 0,п/8,п/4. Оценить погрешность интерполяции на этом отрезке

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для оценки погрешности интерполяции на отрезке [0,п/4] можно воспользоваться формулой остаточного члена интерполяционного многочлена в форме Лагранжа:

Rn(x) = f^(n+1)(ξ) * (x-x0)(x-x1)...(x-xn) / (n+1)!

где f^(n+1)(ξ) - значение (n+1)-ой производной функции f(x) в некоторой точке ξ, принадлежащей отрезку [0,п/4].

Для функции f(x) = sin(x) n = 2, так как мы используем интерполяционный многочлен второй степени. Точки, в которых известны значения sin(x) - это x0 = 0, x1 = п/8, x2 = п/4.

Вычислим значения sin(x) в данных точках:
sin(0) = 0
sin(п/8) ≈ 0.383
sin(п/4) = 0.707

Таким образом, интерполяционный многочлен второй степени будет иметь вид:
P2(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)*L2(x)

где Li(x) - i-й базисный полином Лагранжа.

Вычислим значение интерполяционного многочлена в точке x = п/8:
P2(п/8) = 0L0(п/8) + 0.383L1(п/8) + 0.707*L2(п/8) ≈ 0.383

Погрешность интерполяции в данном случае равна разности между значением функции sin(п/8) и значением интерполяционного многочлена в точке x = п/8:
ε(п/8) = |sin(п/8) - P2(п/8)| ≈ |0.383 - 0.383| = 0

Следовательно, на отрезке [0,п/4] погрешность интерполяции функции sin(x) интерполяционным многочленом второй степени, построенном по значениям в точках 0,п/8,п/4, равна 0.