Определите период колебаний маленькой шайбы скользящей без трения по внутренней поверхности трубы радиуса R=1 метр. Траектория шайбы лежит в вертикальной плоскост

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Период колебаний маленькой шайбы можно найти, используя закон сохранения энергии.

Пусть маленькая шайба движется по круговой траектории в вертикальной плоскости. Тогда ее потенциальная энергия при перемещении вдоль трубы изменяется, так как теперь участвует не только гравитационная энергия, но и потенциальная энергия связи с поверхностью трубы.

Из закона сохранения энергии следует:

(E = \frac{mv^{2}}{2} + mgh + \frac{I\omega^{2}}{2},)

где m - масса шайбы, v - скорость шайбы, h - высота подъема вдоль трубы, I - момент инерции шайбы, ω - угловая скорость шайбы.

Зная, что в точках максимального отклонения скорость шайбы равна нулю, мы можем записать:

(E = mgh = \frac{I\omega^{2}}{2}.)

Отсюда следует:

(mgh = \frac{mR^{2}\omega^{2}}{2}.)

Сокращая массу и угловую скорость, получаем:

(gR = \frac{R\omega^{2}}{2}.)

Отсюда найдем угловую скорость:

(\omega = \sqrt{2g}.)

И период колебаний:

(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{2g}} \approx 2.22) секунды.