Два автомобиля движутся с постоянными скоростями v.1 и v.2 по дорогам, пересекающимися под прямым углом. Когда первый автомобиль достигает перекрёстка, второму оставалось проехать до этого места расстояние L. Спустя какое время t после этого расстояние между автомобилями будет наименьшим? Чему равно это расстояние S.min?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Расстояние между автомобилями можно выразить как S(t) = sqrt((v1t)^2 + (L - v2t)^2). Чтобы найти минимум этой функции, найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

dS(t)/dt = (v1)^2 t / sqrt((v1t)^2 + (L-v2t)^2) - (v2)^2 (L-v2t) / sqrt((v1t)^2 + (L-v2*t)^2) = 0

(v1)^2 t / sqrt((v1t)^2 + (L-v2t)^2) = (v2)^2 (L-v2t) / sqrt((v1t)^2 + (L-v2*t)^2)

(v1)^2 t = (v2)^2 (L-v2*t)

(v1)^2 t = (v2)^2 L - (v2)^3 * t

(v1)^2 t + (v2)^3 t = (v2)^2 * L

t = (v2)^2 * L / ((v1)^2 + (v2)^2)

Теперь найдем минимальное расстояние S.min:

S.min = sqrt((v1t)^2 + (L-v2t)^2)

S.min = sqrt((v1 (v2)^2 L / ((v1)^2 + (v2)^2))^2 + (L - v2 (v2)^2 L / ((v1)^2 + (v2)^2))^2)

S.min = sqrt((v1v2)^4 L^2 / ((v1)^2 + (v2)^2)^2 + (L - (v2)^3 * L)^2 / ((v1)^2 + (v2)^2)^2)

S.min = sqrt((v1v2)^4 L^2 + (L - (v2)^3 * L)^2) / ((v1)^2 + (v2)^2)

S.min = sqrt((v1v2)^4 L^2 + L^2 - 2 (v2)^3 L^2 + (v2)^6 * L^2) / ((v1)^2 + (v2)^2)

S.min = sqrt((v1v2)^4 L^2 + L^2 - 2 (v2)^3 L^2 + (v2)^6 * L^2) / ((v1)^2 + (v2)^2)

S.min = sqrt((v1v2)^4 L^2 + L^2 - 2 (v2)^3 L^2 + (v2)^6 * L^2) / ((v1)^2 + (v2)^2)

Таким образом, минимальное расстояние между автомобилями будет равно sqrt((v1v2)^4 L^2 + L^2 - 2 (v2)^3 L^2 + (v2)^6 L^2) / ((v1)^2 + (v2)^2), и будет достигаться через время t = (v2)^2 L / ((v1)^2 + (v2)^2).