Задача по физике Два абсолютно упругих шарика подвешены на длинных нерастяжимых вертикальных нитях одинаковой длины так, что центры шариков находятся на одной высоте и шарики касаются друг друга (см. рисунок). Вначале отклоняют в сторону в плоскости нитей лёгкий шарик, отпускают его, и после лобового удара о тяжёлый шар лёгкий шарик отскакивает и поднимается на некоторую высоту h. Затем такой же опыт проводят, отклоняя из начального положения на ту же высоту тяжёлый шар. Во сколько раз высота подъёма лёгкого шарика после удара по нему тяжёлым шаром будет отличаться от той, что была в первом случае? Масса лёгкого шарика намного меньше массы тяжёлого, потерями энергии можно пренебречь. Ответ поясните, опираясь на законы механики.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

При лобовом ударе абсолютно упругих шариков соблюдается закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Обозначим массу легкого шарика через m, массу тяжелого шарика через M, высоту подъема легкого шарика после удара через h, начальную скорость легкого шарика после отскока через v, начальную скорость тяжелого шарика как 0.

Импульс легкого шарика до удара равен его импульсу после удара:
mV = mv

А энергия до удара равна энергии после удара:
mgh + 0 = \frac{1}{2}mV^2 + \frac{1}{2}mv^2

Из первого уравнения находим, что V = v(m/M), и подставляем это значение во второе уравнение:
mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m(Mv/m)^2
mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}v^2M

Отсюда находим, что h = \frac{1}{2}v^2(\frac{1}{m} + \frac{1}{M})

Теперь рассмотрим случай, когда отклоняем тяжелый шарик на одну и ту же высоту h. В данном случае начальная скорость тяжелого шарика будет не равна 0. По аналогии с предыдущими рассуждениями придем к уравнению:
Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}mv^2

Отсюда получаем, что h = \frac{1}{2}v^2(\frac{1}{M} + \frac{1}{m})

Тогда соотношение высот, на которую поднимется легкий шарик в обоих случаях, будет равно:
\frac{h_1}{h_2} = \frac{\frac{1}{2}v^2(\frac{1}{m} + \frac{1}{M})}{\frac{1}{2}v^2(\frac{1}{M} + \frac{1}{m})} = \frac{m}{M}

Таким образом, высота подъема легкого шарика после удара по нему тяжелым шаром будет в m раз меньше, чем высота подъема легкого шарика после удара тяжелого шара.