К задаче Бертрана. Образом Гука при конформном отображении двулистно накрываем Ньютона) Пусть тело движется по комплексной плоскости согласно уравнению z'' + z = 0.
Это уравнение соответствует движению частицы в центральном поле сил, где сила подчиняется закону Гука (сила притяжения к аттрактору пропорциональна расстоянию до него), аттрактор находится в нуле и единица времени системы единиц подогнана под единичную угловую частоту.
Проекция общего решения на координатное пространство - всевозможные эллиптические орбиты с центром в нуле.
Требуется показать, что поточечное возведение такой орбиты в квадрат покрывает кеплерову орбиту (т.е. эллипс с фокусом, а не центром, в нуле).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что уравнение z'' + z = 0 имеет общее решение вида z(t) = Acos(t) + Bsin(t), где A и B - произвольные комплексные константы.

Пусть z(t) = x(t) + iy(t), где x(t) и y(t) - действительные функции переменной t. Тогда общее решение можно представить в виде:

x(t) = Re(Ae^(it) + Be^(-it))
y(t) = Im(Ae^(it) + Be^(-it))

Пусть q(t) = x(t)^2 + y(t)^2. Тогда для произвольного t имеем:

q(t) = Re((Ae^(it) + Be^(-it))^2) + Im((Ae^(it) + Be^(-it))^2)
= Re(A^2e^(2it) + 2AB + B^2e^(-2it)) + Im(A^2e^(2it) + 2AB + B^2e^(-2it))
= A^2cos(2t) + B^2sin(2t) + 2(ABcos(2t) - ABsin(2t))
= A^2(cos(2t) - sin(2t)) + B^2(sin(2t) + cos(2t))
= A^2sqrt(2)sin(2t - pi/4) + B^2sqrt(2)cos(2t - pi/4)

Таким образом, мы видим, что q(t) представляет собой эллипс с фокусами в точках A и B. Это и есть кеплерова орбита.

Итак, мы показали, что поточечное возведение эллиптической орбиты, описываемой движением по уравнению z'' + z = 0, в квадрат покрывает кеплерову орбиту.