Домашнее задание по физике При падении тела с большой высоты его максимальная скорость 80 м/с. Через какое время от начала падения скорость тела станет 40 м/с? Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости движения тела.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением движения тела:

v = v₀ + at,

где v - скорость тела в момент времени t, v₀ - начальная скорость (в данном случае равна 0), а - ускорение.

Ускорение тела при падении под действием силы тяжести равно ускорению свободного падения g = 9.81 м/с².

Также учтем, что сила сопротивления воздуха F подчиняется закону: F = kv, где k - некоторая постоянная.

Теперь можем записать уравнение движения с учетом силы сопротивления воздуха:

m(dv/dt) = mg - kv,

где m - масса тела.

Разделим это уравнение на m и решим дифференциальное уравнение для скорости тела v(t):

dv/dt = g - (k/m)*v.

Заметим, что данное уравнение имеет вид уравнения Лагранжа (уравнение первого порядка).

Решим дифференциальное уравнение методом разделения переменных:

1/(g - (k/m)*v)dv = dt

∫(1/(g - (k/m)*v))dv = ∫dt,

-ln|g - (k/m)*v| = t + C,

где C - постоянная интегрирования.

Продолжим решение, найдя значение интеграла:

ln|g - (k/m)*v| = -t + C,

|g - (k/m)*v| = e^(-t + C),

|g - (k/m)v| = e^C e^(-t),

Теперь найдем значение константы C из начального условия v(0) = 0:

|g - (k/m)0| = e^C e^0,

g = e^C,

Таким образом, C = ln(g).

Теперь уравнение имеет вид:

|g - (k/m)*v| = ge^(-t).

Рассмотрим два случая:

g - (k/m)v = ge^(-t),

(1 - e^(-t))g = (k/m)v,

v = (1 - e^(-t))(m/k)g.

(k/m)v - g = ge^(-t),

(k/m)v = (1 + e^(-t))g,

v = (1 + e^(-t))(m/k)g.

Теперь подставим данные из условия задачи:

80 = (1 - e^(-t))(m/k)g,

80 = (1 - e^(-t))(m/k)9.81,

(1 - e^(-t))*9.81 = 80/(m/k),

1 - e^(-t) = 80/(9.81*(m/k)),

e^(-t) = 1 - 80/(9.81*(m/k)),

-t = ln(1 - 80/(9.81*(m/k)),

-t = ln(m/k - 80/(9.81)),

-t = ln(m/k - 8.16202176),

t = -ln(m/k - 8.16202176).

40 = (1 - e^(-t))(m/k)g,

40 = (1 - e^(-t))(m/k)9.81,

(1 - e^(-t))*9.81 = 40/(m/k),

1 - e^(-t) = 40/(9.81*(m/k)),

e^(-t) = 1 - 40/(9.81*(m/k)),

-t = ln(1 - 40/(9.81*(m/k)),

-t = ln(m/k - 40/(9.81)),

-t = ln(m/k - 4.08101088),

t = -ln(m/k - 4.08101088).

Таким образом, время, через которое скорость тела станет 40 м/с равно -ln(m/k - 4.08101088).