Сферический резервуар радиуса 10 м заполняется водой с постоянной скоростью 2 кубических метра в минуту. Определите скорость, с которой поднимается уровень воды в момент, когда вода достигает шести метров высоты.

Ответ укажите в метрах в минуту и округлите до трех знаков после запятой. В качестве ответа укажите десятичную дробь.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Объем воды в резервуаре $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi 10^3 = \frac{4000}{3} \pi \approx 4188.79 \, \text{м}^3$.

Пусть $h$ - высота воды в данный момент, тогда объем воды равен $V = \pi r^2 h = 100 \pi h$.

Таким образом, $100 \pi h = \frac{4000}{3} \pi$ или $h = \frac{400}{3} \approx 133.33 \, \text{м}$.

Теперь найдем скорость изменения высоты воды по времени:
$$\frac{dh}{dt} = 2 \, \frac{\text{м}^3}{\text{мин}} \cdot \frac{1}{\pi \cdot 100} = \frac{2}{\pi \cdot 100} \approx 0.0637 \, \frac{\text{м}}{\text{мин}}.$$

Итак, скорость, с которой поднимается уровень воды в момент, когда вода достигает шести метров высоты, равна приблизительно 0.064 м/мин.