Механика. Определить глубину котлована. Прошу помощи... Для измерения глубины котлована на его дно бросают без начальной скорости груз массой m, который через t = 4 с достигает дна. Сопротивление воздуха пропорционально скорости R = -0,98mv. Определить глубину котлована.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением движения для свободно падающего тела с учетом сопротивления воздуха:

m a = m g - R,

где a - ускорение, g - ускорение свободного падения (около 9,8 м/c²), R = -0,98mv - сила сопротивления воздуха.

Учитывая, что ускорение равно производной скорости по времени:

a = dv/dt,

и заменяя силу сопротивления в уравнении движения, получим:

m dv/dt = m g - R,
m dv/dt = m g + 0,98mv,
dv/dt = g + 0,98v.

Интегрируя это уравнение, получим:

∫dv/(g + 0,98v) = ∫dt,
-ln|g + 0,98v| = t + C,
g + 0,98v = e^(-t-C),
g + 0,98v = Ae^(-t), (где A = e^(-C)).

Учитывая, что в момент времени t=0 скорость v=0, мы можем найти константу A:

g + 0,98*0 = Ae^0,
g = A,
A = g.

Таким образом, у нас получается дифференциальное уравнение:

g + 0,98v = ge^(-t).

Решив это уравнение, мы можем найти скорость тела в момент времени t=4с:

v = (g/0,02) (1 - e^(-0,024)),
v = 49(1-e^(-0,08)),
v = 49(1-e^(-0,08)),
v ≈ 48,43.

Из уравнения движения для свободного падения можно найти положение тела в момент времени t=4с:

s = ∫v dt,
s = ∫48,43 dt,
s = 48,43*4,
s ≈ 193,72 м.

Таким образом, глубина котлована составляет около 193,72 м.