Физика. Колебания жидкости В вертикальной U‐образной трубке с открытыми концами находится жидкость. Трубку отклонили от вертикали так, что плоскость, в которой лежит трубка, составляет угол `alpha=30^@` с вертикалью (см. рисунок). Жидкость вывели из состояния равновесия, в результате возникли малые колебания.

Найдите период `T` малых колебаний жидкости в трубке. Объем жидкости `V=100 "см"^3`, площадь поперечного сечения трубки `S=1 "см"^2`. Все эффекты, связанные с трением, считайте пренебрежимо малыми.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения периода колебаний жидкости в трубке воспользуемся формулой периода колебаний маятника:

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} ]

где:

( I ) - момент инерции системы относительно оси вращения,( m ) - масса жидкости,( g ) - ускорение свободного падения,( d ) - расстояние от центра масс жидкости до оси вращения.

Момент инерции ( I ) для жидкости в форме цилиндра можно выразить как ( I = \frac{1}{12}mL^2 ), где ( L ) - длина цилиндра. Для удобства рассмотрим трубку как цилиндр.

Для начала найдем массу жидкости ( m ) и расстояние от центра масс до оси вращения ( d ).

Масса жидкости: ( m = \rho V ), где ( \rho = 1\, г/см^3 ) - плотность жидкости (предполагаем воду).

( m = 1\, г/см^3 \times 100\, см^3 = 100\, г )

Расстояние от центра масс до оси вращения: ( d = \frac{L}{2} )

Так как треугольник, образованный линией жидкости и трубкой, является равнобедренным, то
[ d = \frac{L}{2} = \frac{S}{2\sin{\alpha}} = \frac{1\, см^2}{2\sin{30^{\circ}}} = \frac{1}{2} \, см ]

Теперь можем подставить все в формулу для вычисления периода колебаний:

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}mL^2}{mgd}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12} \times 100\, г \times L^2}{100\, г \times 9.8\, м/с^2 \times \frac{1}{2}\, см}}]

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}L^2}{9.8\, м/с^2 \times 0.5\, см}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}L^2}{4.9\, м/с^2 \times 0.5\, см}}]

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}L^2}{2.45\, м/с^2 \times см}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}L^2}{0.0245\, м^2/с^2}} ]

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{12}L^2 \times \frac{1}{0.0245\, м^2/с^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{L^2}{0.294\, м^2/с^2}} ]

[ T = 2\pi \frac{L}{\sqrt{0.294\, м^2/с^2}} = 2\pi \frac{L}{0.542\, с/м} ]

[ T = 3.67L ]

Таким образом, период малых колебаний жидкости в данной U-образной трубке будет равен ( 3.67L ), где ( L ) - длина цилиндра жидкости.