Задача по физике Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара w после отрыва от сферы, считая начальную скорость шара равной нулю.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи необходимо учесть закон сохранения энергии и условия, при которых шар отрывается от поверхности сферы.

Начальные условия: шар начинает скатываться с высоты, равной радиусу сферы ( R ) и имеет начальную скорость ( v_0 = 0 ).

Сохранение механической энергии: потенциальная энергия шара в начале равна ( mgh = mgR ), где ( h = R ) – начальная высота, а ( m ) – масса шара. Когда шар скатывается, эта энергия преобразуется в кинетическую энергию при движении и вращении:

[
E{\text{пот}} = E{\text{кин}} + E_{\text{рот}}
]

[
mgR = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2
]

Для однородного шара момент инерции ( I ) рассчитывается как ( I = \frac{2}{5} m r^2 ). Условие безоскользящего движения связано с угловой скоростью ( \omega ) и линейной скоростью ( v ):

[
v = r \omega
]

Заменяем ( \omega ) на ( v ):

Подставим ( \omega = \frac{v}{r} ) в уравнение для энергии:

[
mgR = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m r^2 \cdot \left(\frac{v}{r}\right)^2
]

Упростим:

[
mgR = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2
]

Сложим выражения:

[
mgR = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) mv^2 = \left(\frac{5}{10} + \frac{2}{10}\right) mv^2 = \frac{7}{10} mv^2
]

Сокращая на ( m ) и решая уравнение:

[
gR = \frac{7}{10} v^2
]

Перемножим обе части уравнения на ( \frac{10}{7} ):

[
v^2 = \frac{10gR}{7}
]

Теперь найдем ( v ):

[
v = \sqrt{\frac{10gR}{7}}
]

Наконец, используем связь для нахождения угловой скорости ( \omega ):

[
\omega = \frac{v}{r} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{10gR}{7}}
]

Таким образом, угловая скорость шара после отрыва от сферы равна:

[
\omega = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{10gR}{7}}
]