Физика, задачи эл.потенциал Бесконечно длинная и равномерно заряженная нить с линейной плотностью эл. заряда τ = 5*10^9 Кл м^-1 окружена последовательно двумя цилиндрическими слоями диэлектрика ( ε 1 = 2 и ε 2 = 3). Их наименьшие радиусы равны соответственно R1 = 5см и R2 = 25 см. Дать числовую зависимость эл. потенциала в радиальном направлении от оси цилиндров в пределах от r = 0,5 см до r = 50 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи мы используем принцип суперпозиции электрического поля и потенциального поля, создаваемого бесконечно длинной заряженной нитью, и учитываем вклад диэлектриков. Начнем с определения электрического поля, создаваемого нитью.

Электрическое поле от заряженной нити:

Электрическое поле ( E ) вокруг бесконечно длинной нити с линейной плотностью заряда ( \tau ) определяется формулой:
[
E(r) = \frac{\tau}{2\pi \epsilon_0 r}
]
где ( \epsilon_0 ) — электрическая постоянная (приблизительно ( 8.854 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} )).

Электрическое поле в пространствах диэлектриков будет изменено их диэлектрическими проницаемостями. Для первого диэлектрика (с проницаемостью ( \epsilon_1 = 2 \epsilon_0 )):
[
E_1(r) = \frac{\tau}{2\pi (2\epsilon_0) r} = \frac{\tau}{4\pi \epsilon_0 r}
]

Для второго диэлектрика (с проницаемостью ( \epsilon_2 = 3 \epsilon_0 )):
[
E_2(r) = \frac{\tau}{2\pi (3\epsilon_0) r} = \frac{\tau}{6\pi \epsilon_0 r}
]

Электрический потенциал:

Электрический потенциал ( V ) в радиальном направлении может быть найден интегрированием электрического поля. Общая формула для потенциала, с учетом ориентации электрического поля (от большего радиуса к меньшему), будет:

[
V(r) = -\int E(r) \, dr
]

Теперь рассмотрим различные области:

Область ( r < R_1 ) (0.5 см до 5 см)

Здесь ( E = 0 ) (внутри проводника, если это проводник, но так как это заряд, то расчет через ( r ) не требуется, потому что мы имеем бесконечную нить).

Область ( R_1 < r < R_2 ) (5 см до 25 см)

Здесь:
[
E_1(r) = \frac{\tau}{4\pi \epsilon_0 r}
]
Потенциал:
[
V(r) = V(R1) - \int{R_1}^{r} E_1(r) \, dr = V(R_1) - \frac{\tau}{4\pi \epsilon_0} \ln\left(\frac{r}{R_1}\right) + C_1
]

Где ( C_1 ) — константа интегрирования.

Область ( R_2 < r ) (25 см до 50 см)

Здесь:
[
E_2(r) = \frac{\tau}{6\pi \epsilon_0 r}
]
Потенциал:
[
V(r) = V(R2) - \int{R_2}^{r} E_2(r) \, dr = V(R_2) - \frac{\tau}{6\pi \epsilon_0} \ln\left(\frac{r}{R_2}\right) + C_2
]

Теперь объединим все области и найдем общую зависимость ( V(r) ) вDepends on границах от 0.5 см до 50 см, учитывая, что ( V(R_1) ) и ( V(R_2) ) могут быть из одного значения (линейности).

Несмотря на наличие нескольких постоянных, мы можем выразить общую зависимость от ( r ) в каждой области, подставив значения ( R_1 ) и ( R_2 ) и произвольно выбрав начальное значение потенциала в одной из областей.

Определение числовых значений требует подстановки ( \tau = 5 \cdot 10^9 \, \text{Кл/м} ) и вычисления ( V ) для различных точек. Вы можете использовать Python или другой численный метод для построения графика.