Для поражения цели с самолёта запускают ракету. Самолёт летит горизонтально на высоте Н = 8 км со скоростью v0 = 300 м/с. Масса ракеты изменяется по закону m = m0ехр(-lambdat) и уменьшается за время полёта к цели в е раз. Скорость истечения газов относительно ракеты u = 1000 м/с, корпус ракеты во время её полёта горизонтален. Каково расстояние L от цели до точки, над которой находился самолёт в момент запуска ракеты? Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ L = 32 кимлометра

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся уравнением движения ракеты:

m dv/dt = -dm/dt u + m g,

где m - масса ракеты, v - скорость ракеты, t - время, u - скорость истечения газов, g - ускорение свободного падения.

Учитывая, что m = m0 * exp(-λt), где m0 - начальная масса ракеты, получаем:

m0 dv/dt = -λ m0 exp(-λt) u + m0 exp(-λt) g,
dv/dt = -λ * u + g.

Интегрируя это уравнение по времени от момента запуска ракеты до момента достижения цели, получим:

∫ dv = -∫λu dt + ∫g dt,
v - v0 = -λu t + g t,
v = v0 - (λu - g) * t.

Подставим значения из условия задачи: v0 = 300 м/с, λ = 1/е, u = 1000 м/с, g = 9.8 м/с^2. Также учитывая, что ракета летит горизонтально, получаем:

v = 0,
0 = 300 - (1/е 1000 - 9.8) t,
t = 300 / (1000 - е * 9.8).

Далее найдем расстояние, которое прошел самолет за это время:

L = v0 t = 300 (300 / (1000 - е * 9.8)) = 32 км.

Таким образом, расстояние от цели до точки, над которой находился самолет в момент запуска ракеты, равно 32 км.