Любитель экстремальных развлечений массой 100 кг прыгает с моста высотой 50 м в реку, привязавшись к мосту за ноги резиновым жгутом длиной 20 м. Жгут обеспечивает такое торможение человека, что его скорость становится равной нулю у самой поверхности воды. Найти жесткость жгута и максимальную скорость человека во время падения.
С подробным решением.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть $k$ - жесткость жгута (в Н/м), $m$ - масса человека (100 кг), $h$ - высота моста (50 м), $l$ - длина жгута (20 м), $g$ - ускорение свободного падения (9.8 м/с²).

По закону сохранения энергии, потенциальная энергия у человека на высоте моста равна кинетической энергии на самой поверхности воды:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$

где $v$ - скорость человека на самой поверхности воды, $x$ - удлинение жгута на этой же высоте.

Также, имеем уравнение для жесткости жгута:

$kx = mg$

и уравнение для удлинения жгута на самой поверхности воды:

$x + l = h$

Подставляя уравнения для к и x в уравнение энергии, получаем:

$mg(h - x) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \frac{mg}{x} x^2$

$mg(h - x) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mgx$

$2g(h - x) = v^2 + gx$

$2gh - 2gx = v^2 + gx$

$v^2 = 2gh - 3gx$

Подставляя $x = \frac{mg}{k}$ и $h = x + l = \frac{mg}{k} + l$, получаем:

$v^2 = 2g(\frac{mg}{k} + l) - 3g\frac{mg}{k}$

$v^2 = 2g\frac{mg}{k} + 2gl - 3g\frac{mg}{k}$

$v^2 = \frac{2g}{k}m^2 - \frac{g}{k}m^2 + 2gl$

$v^2 = \frac{g}{k}m^2 + 2gl$

Из уравнения для жесткости жгута $k = \frac{mg}{x}$ можно найти $x = \frac{mg}{k}$, подставив это значение в уравнение для удлинения жгута на самой поверхности воды:

$x + l = h$

$\frac{mg}{k} + l = h$

$\frac{mg}{k} = h - l$

$k = \frac{mg}{h-l}$

$k = \frac{100 * 9.8}{50-20}$

$k = \frac{980}{30}$

$k = 32.67 \, Н/м$

Таким образом, жесткость жгута составляет 32.67 Н/м, а максимальная скорость человека во время падения равна

$v = \sqrt{\frac{g}{k}m^2 + 2gl} = \sqrt{\frac{9.8}{32.67}100^2 + 2 9.8 20} \approx \sqrt{2940.64 + 392} \approx \sqrt{3332.64} \approx 57.7 \, м/с$