С какой скоростью скатится без скольжения с наклонной плоскости, высотой2 м полый цилиндр?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для ответа на этот вопрос нам необходимо знать радиус цилиндра. После этого можно применить законы сохранения энергии, чтобы найти скорость скатывания цилиндра.

Пусть (m) - масса цилиндра, (R) - радиус цилиндра, (h) - высота наклонной плоскости, (v) - скорость скатывания цилиндра.

Энергия цилиндра в начальный момент времени (в верхней точке) равна его потенциальной энергии, а в конечный момент времени (на наклонной плоскости) - сумме его кинетической и потенциальной энергий:

[mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2]

где (I) - момент инерции цилиндра относительно его оси, (\omega) - угловая скорость цилиндра.

Поскольку цилиндр полый, его момент инерции можно выразить как (I = \frac{1}{2}mR^2), а его угловую скорость связать с линейной скоростью как (\omega = \frac{v}{R}), тогда:

[mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}mR^2 \cdot \left(\frac{v}{R}\right)^2]

Упрощая уравнение, получим:

[mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2]

[2mgh = \frac{3}{4}mv^2]

[v = \sqrt{\frac{8gh}{3}}]

Таким образом, скорость скатывания цилиндра без скольжения с наклонной плоскости равна (\sqrt{\frac{8gh}{3}}).