Заряд конденсатора в колебательном контуре меняется по закону q=Acos(пи*t), где А = 2 мкКл. Найдите энергию электрического поля конденсатора в момент времени, когда она равна энергии магнитного поля катушки. Индуктивность катушки равна 0.05 Гн.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем момент времени, когда энергия электрического поля конденсатора равна энергии магнитного поля катушки.

Энергия электрического поля конденсатора вычисляется по формуле:
W_el = (1/2)Cq^2,

где С - ёмкость конденсатора, q - заряд конденсатора. Так как q = Acos(пиt), то W_el = (1/2)CA^2cos^2(пи*t).

Энергия магнитного поля катушки равна:
W_mag = (1/2)LI^2,

где L - индуктивность катушки, I - ток в катушке. Так как I = dq/dt = -Aпиsin(пиt), то W_mag = (1/2)LA^2пи^2sin^2(пиt).

Теперь равенство этих энергий:
(1/2)CA^2cos^2(пиt) = (1/2)LA^2пи^2sin^2(пиt).

Так как A^2 сократятся на обеих сторонах равенства, получим:
Ccos^2(пиt) = Lпи^2sin^2(пиt).

Делим обе части на sin^2(пиt):
C(cos^2(пиt)/sin^2(пиt)) = Lпи^2.

Так как cos^2(пиt)/sin^2(пиt) = 1/tan^2(пиt), то:
C/tan^2(пиt) = Lпи^2.

Тангенс пи/2 и -пи/2 бесконечен, поэтому cos(пиt)=0 и tan(пиt) = sin(пиt)/cos(пиt) = бесконечность => t=0.

Значит, момент времени, когда энергия электрического поля конденсатора равна энергии магнитного поля катушки, равен нулю.

Подставим t=0 в уравнения и найдём значение энергий:
W_el = (1/2)CA^2,
W_mag = (1/2)LA^2*пи^2.

Подставляем данные: C = 1/(210^-6) Ф, L = 0.05 Гн, A = 210^-6 Кл.
W_el = (1/2)(1/(210^-6))(210^-6)^2 = 0.54 = 2 Дж,
W_mag = (1/2)0.05(210^-6)^2пи^2 = 0.50.054пи^2 ≈ 0.314 Дж.

Таким образом, в момент времени t=0 энергия электрического поля конденсатора равна 2 Дж, а энергия магнитного поля катушки равна 0.314 Дж.