На какой угол надо отклонить однородный стержень длиной l = 1 м, подвешенный за верхний конец, чтобы его нижний конец при прохождении положения равновесия имел скорость V = 5 м / с?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законом сохранения механической энергии.

Когда стержень находится в положении равновесия, вся его потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию его конца.

Потенциальная энергия стержня в положении равновесия равна нулю, а кинетическая энергия определяется как (K = \frac{1}{2} m v^2), где m - масса конца стержня, а v - его скорость.

Так как стержень однородный, его масса равномерно распределена, поэтому масса конца стержня равна половине его общей массы: (m = \frac{m_0}{2}).

Таким образом, кинетическая энергия нижнего конца стержня равна: (K = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_0}{2} \cdot V^2 = \frac{1}{4} m_0 V^2).

Полная энергия системы (E = U + K), где U - потенциальная энергия, равна нулю в положении равновесия.

Пусть угол отклонения стержня от вертикали равен (\alpha). Тогда максимальная потенциальная энергия системы при таком отклонении составит (m_0 g l \sin(\alpha)), где g - ускорение свободного падения.

Таким образом, (E = K + U = \frac{1}{4} m_0 V^2 = m_0 g l \sin(\alpha)).

Подставляем данные и находим угол отклонения (\alpha):

(\sin(\alpha) = \frac{V^2}{4 g l} = \frac{5^2}{4 \cdot 9.8 \cdot 1} \approx 0.64)

(\alpha = \arcsin(0.64) \approx 40.5^\circ)

Таким образом, для того чтобы нижний конец стержня имел скорость 5 м/с при прохождении положения равновесия, его необходимо отклонить под углом около 40.5 градусов.