Горизонтальная платформа массой 200 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R/2 м? Платформа – однородный диск радиусом R, человек – точечная масса. Как можно подробнее.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем момент инерции системы "платформа + человек". Момент инерции для платформы можно найти по формуле для момента инерции диска:
[ I_{\text{платформа}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot R^2 ]

где ( m = 200\ кг ) - масса платформы, а ( R ) - радиус платформы.

Момент инерции для человека можно найти как ( I_{\text{человек}} = m \cdot R^2 ), так как человек считается точечной массой.

Теперь найдем момент инерции для системы "платформа + человек":
[ I{\text{система}} = I{\text{платформа}} + I_{\text{человек}} = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot R^2 + 60 \cdot R^2 = 230 \cdot R^2 ]

То есть, момент инерции системы будет равен 230 ( R^2 ).

Для того, чтобы найти сколько оборотов в секунду будет делать платформа, когда человек стоит на расстоянии ( R/2 ) от центра платформы, воспользуемся законом сохранения момента импульса (( L = I \cdot \omega ), где ( L ) - момент импульса, ( I ) - момент инерции, а ( \omega ) - угловая скорость).

После того, как человек переместился на расстояние (R/2) от центра, момент инерции системы будет равен:
[ I' = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (R/2)^2 + 60 \cdot (R/2)^2 = 50 \cdot (R/2)^2 + 30 \cdot (R/2)^2 = 80 \cdot (R/2)^2 = 20 \cdot R^2 ]

Теперь, используя закон сохранения момента импульса, можно записать:
[ I \cdot \omega = I' \cdot \omega' ]
[ 230 \cdot R^2 \cdot 10 = 20 \cdot R^2 \cdot \omega' ]

Отсюда находим угловую скорость (\omega') платформы после того, как человек переместился на расстояние (R/2) от центра:
[ \omega' = \frac{230 \cdot 10}{20} = 115\ об/с ]

Итак, платформа будет делать 115 оборотов в секунду.