В катушке входного контура приемника индуктивностью 10 мкГн запасается при приеме волны максимальная энергия 4⋅10^-15 Дж. На конденсаторе контура максимальная разность потенциалов 5⋅10^-4 В. Определите длину волны, на которую настроен приемник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения длины волны, на которую настроен приемник, воспользуемся формулой для расчета максимальной энергии, запасенной в катушке:
W = (1/2) L I^2,
где L - индуктивность катушки, I - максимальный ток.

Так как энергия запасается приемником, то максимальное значение тока достигается в момент перехода нуля напряжения на катушке, что соответствует максимальной амплитуде колебаний. Также известно, что напряжение на конденсаторе пропорционально производной от тока, поэтому можно записать соотношение:
U = (1/C) * ∫I dt,
где U - максимальная разность потенциалов на конденсаторе, C - ёмкость конденсатора.

Изобразив схему колебательного контура, можно выразить ток и напряжение через время и напряжение на конденсаторе:

I = I0 cos(ωt),
U = U0 cos(ωt + π/2),
где I0 - амплитуда тока, U0 - амплитуда напряжения, ω - циклическая частота.

Подставляя полученные выражения в уравнение для напряжения на конденсаторе, получаем:
U = (1/C) ∫I0 cos(ωt) dt,
U0 cos(ωt + π/2) = (1/C) ∫I0 cos(ωt) dt,
U0 sin(ωt) = (1/Cω) * I0,

С другой стороны, максимальная энергия находится при соответствующем значении тока, так что запишем:
W = (1/2) L I0^2,
4⋅10^-15 = (1/2) 10^-5 I0^2,
I0 = 2√(4⋅10^-15 / 10^-5) = 4⋅10^-5 А.

Таким образом, подставляя значение I0 и U0, получаем:
U0 sin(2πf) = (1/Cω) 4⋅10^-5,
5⋅10^-4 sin(2πf) = (1/(1/(LC))) 4⋅10^-5,
5⋅10^-4 sin(2πf) = √(1/(10^-15 ω^2)) 4⋅10^-5,
sin(2πf) = √(ω^2/L) 4⋅10^-10 / 5⋅10^-4,
sin(2πf) = 4⋅10^8 √(10^-5) / 5,
2πf = arcsin(4⋅10^8 √(10^-5) / 5),
f = 0.00252 Гц.

Таким образом, длина волны, на которую настроен приемник, составляет 400 км.