Надувной матрас массой m = 10 кг и длиной L = 2 м лежит на полу комнаты. Человек поднимает его так, что основание матраса, не сдвигаясь, остается на полу в том же месте. Какую минимальную работу A необходимо совершить человеку, чтобы установить матрас под углом 60 градусов к горизонту? Какую минимальную силу он должен прилагать, чтобы удерживать матрас в этом положении? Считайте, что масса матраса равномерно распределена по его длине.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся принципом работы и энергии:

Работа, необходимая для установки матраса под углом 60 градусов к горизонту, равна потенциальной энергии системы (в данном случае - матраса) в состоянии равновесия. Потенциальная энергия системы в положении равновесия определяется как разностьми потенциальных энергий на начальном и конечном положениях.

Потенциальная энергия на начальном положении (положении, когда матрас лежит на полу) равна 0, так как высота относительно нулевого уровня равна 0.

Потенциальная энергия на конечном положении (положении, когда матрас установлен под углом 60 градусов к горизонту) равна mgh, где m - масса матраса, g - ускорение свободного падения, h - высота поднятия центра масс матраса.

h = L sin(60 градусов) = L sin(π/3) = 2 * √3 / 2 = √3 м

Тогда работа, необходимая для установки матраса под углом 60 градусов к горизонту, равна:

A = m g h = 10 9.8 √3 ≈ 170.7 Дж.

Для нахождения минимальной силы, которую человек должен прилагать, чтобы удерживать матрас в этом положении, рассмотрим равновесие матраса под углом 60 градусов к горизонту. По условиям задачи, основание матраса не сдвигается.

Горизонтальная составляющая силы, которую человек прикладывает, равна силе трения, возникающей между матрасом и полом:

Fтр = µ * N,

где µ - коэффициент трения между матрасом и полом, N - нормальная реакция пола на матрас.

N = m g = 10 9.8 = 98 Н

Так как матрас находится под углом 60 градусов к горизонту, сила, действующая перпендикулярно горизонту, должна равняться составляющей силы тяжести, направленной по нормали к поверхности пола:

Ncos(60 градусов) = mgcos(60 градусов) = 10 9.8 0.5 = 49 Н

Тогда:

Fтр = µ N = µ mg = 49 * µ

С учетом того, что угол скольжения матраса максимален, получаем, что:

Fтр = µ N = 49 µ = m g sin(60 градусов).

Отсюда:

µ = m g sin(60 градусов) / N = 10 9.8 sin(60) / 98 = 4/5 ≈ 0.8.

Таким образом, минимальная сила, которую должен прилагать человек, чтобы удерживать матрас под углом 60 градусов к горизонту, равна:

Fтр = 49 µ = 49 0.8 = 39.2 Н.